گسترش پایه در فضا جبرخطی - میهن مهر
header

مبلیما خرید مبل

گسترش پایه در فضا جبرخطی

در جبر خطی منظور از یک پایه (Basis) برای یک فضای برداری مجموعه از بردارهای موجود در آن فضا است که دو خاصیت زیر را دارا باشد:

  1. هیچ‌کدام از بردارهای مجموعه را نتوان به صورت ترکیب خطی بقیه نوشت، یا به زبان ساده‌تر، بردارها به طور خطی از هم مستقل باشند.
  2. هر بردار دیگر در فضای برداری را بتوان از ترکیب خطی این بردارها به دست آورد.

base-open-space-jbrkhty

در مورد این پایه‌ها هر بردار موجود در مجموعه بر تمامی بردارهای دیگر آن عمود است.

پایه‌های متعامدی هستند که طول تک تک بردارهای آن با هم برابر و برابر ۱ است. برای به دست آوردن یک پایۀ متعامد(و همچنین یک پایۀ یکا متعامد) از یک پایۀ مرتب از الگوریتم گرام-اشمیت استفاده می‌شود.

base-open-space-jbrkhty

بنام پروردگار ۱ اعداد، بردارها و اعمال جبري آنها ۱٫۱ مقدمه مفهوم عدد يكي از مهمترين مفاهيمي است كه بشر با آن موجه بوده و در طول تاريخ تحول بسيار يافته است. شايد بتوان گفت كه او ابتدا توانست بين مفهوم يكي و چند تايي تفاوت بگذارد و سپس براي شمارش اشياء اعداد طبيعي را انتزاع كند. همچنين به تدريج توانايي معرفي عم لهاي جمع و ضرب را كه با نياز او ارتباط مستقيم داشت پيدا كرد. بدنبال اين پيشرفت نياز او به معرفي عددهاي صفر، منفي و گويا آشكار شد و عمل هاي جمع و ضرب و تفريق و تقسيم روي اين عددها گسترش يافت. اما آشنايي انسان با اعداد غير گويا با ديد هندسي آغاز شد. اگر يك پاره خط را به عنوان مقياس در نظر بگيريم و به آن عدد ۱ (يك) را نسبت دهيم با تقسيم آن به قسمت هاي مساوي و كنار هم قرار دادن آنها م يتوانيم پاره خط هاي متناظر با هر عدد گوياي مثبت را بدست آوريم. اعمال جمع و ضرب را نيز مي توان به راحتي به كمك پاره خط ها نمايش داد: جمع پاره خط ها: جمع دو پار هخط از كنار هم قرار دادن دو پار هخط بدست مي آيد به گونه اي كه دو پار هخط تنها در نقاط انتهايي خود مشترك باشند. ضرب پاره خط ها: ضرب دو پاره خط مساحت مستطيلي است كه اضلاع آن پاره خط هاي مورد نظرند. ولي با اين تعريف ضرب دو پاره خط، پاره خط نخواهد بود! اين مشكل به اين صورت قابل حل است كه ضرب دو پار هخط را پاره خطي تعريف كنيم كه مساحت مستطيل ايجاد شده با آن و پاره خط واحد (پاره خط مقياس)، برابر مساحت مستطيل ايجاد شده با دو پاره خط مفروض باشد. شايد شما روشهاي بهتري براي تعريف پار هخط در ذهن داشته باشيد. مثلاً با ايجاد شكل هاي زير ضرب دو پاره خط را مي توان تعريف كرد كه البته نتايج همه يكي خواهد بود. با اين حال از لحاظ تاريخي اين ابزار (تشابه و قضيه تالس) بعد از تعريف ضرب دو پاره خط به كمك مساحت بدست آمدند. a a b a.b b ≡ ۱ سادگي جمع نسبت به ضرب با كمي دقت در تعريف ضرب در مي يابيم كه براي ضرب دو پار هخط به پار هخط واحد نياز داريم و با تغيير پاره خط واحد حاصل ضرب دو پار هخط داده شده تغيير خواهد كرد. اين در حالي است كه براي جمع دو پاره خط نيازي به انتخاب مقياس نداريم. يعني جمع كردن داراي ماهيتي ساده تر از ضرب كردن است. اعداد غير گويا ابتدا تصور مي شد همه پاره خط ها متناظر اعداد گويا اند. اما قضيه فيثاغورث نشان داد پار هخطي وجود دارد كه متناظر با هيچ عدد گويايي نيست (وتر مثلث قائم الزاويه با اضلاع قائمة واحد). اين آغاز آشنايي بشر با اعداد غير گويا بود. اعدادي كه به راحتي براي بشر قابل پذيرش نبودند و مشكلات زيادي ايجاد كردند. مثلاً چگونه مي توان اعمال جبري اي را كه روي اعداد گويا تعريف شده بود براي اين اعداد نيز گسترش داد. راه حل اين مشكل در ديد هندسي به اعداد يافت شد. در ديد هندسي، عم لهاي جمع و ضرب روي همه پاره خط ها قابل انجام است. در واقع اين تنها روش گذشتگان براي معرفي اعمال جمع و ضرب روي همه اعداد حقيقي (اعداد گويا و غير گويا) بود. بنابراين تلاش هاي بسياري براي بدست آوردن و بيان ويژگي هاي جمع و ضرب با اين روش انجام شد. مسلماً خواننده با اعداد حقيقي و اعمال جبري روي آنها آشنا است. هدف ما نيز در اينجا بيان چگونگي تعريف اعمال جبري روي همه اعداد حقيقي نيست. در واقع ما خلاف جهت تاريخي حركت مي كنيم و به كمك اعداد حقيقي و اعمال جبري روي آنها كه براي ما آشنا هستند اعمال جبري روي نقاط يك خط را معرفي مي كنيم. به اين ترتيب م يتوانيم مشابه اين اعمال را براي نقاط يك صفحه و يا نقاط فضاي سه بعدي معرفي كنيم. اعمال جبري روي نقاط يك خط به كمك مطالب قسمت قبل به راحتي مي توانيم نقاط يك خط را با هم جمع و ضرب كنيم. روش زير براي اين كار در واقع نمايشي هندسي است براي اعمال جمع و ضرب روي اعداد حقيقي كه شامل اعداد منفي نيز هستند. نمايش م يدهيم). اين نقطه براي انجام O 1. نقطه اي از خط را به عنوان مبدأ انتخاب مي كنيم (و آن را هميشه با همه اعمال جبري روي نقاط يك خط ضروري است. بعد از انتخاب اين نقطه هر نقطه از خط با پاره خطي و انتهايش آن نقطه است. O جهت دار متناظر مي شود كه ابتداي آن b 1 a a.b a 1 b a.b OA در واقع جمع پاره خط هاي جهتدار B و A جمع دو نقطه :B و A 2. جمع دو نقطه �������� OB و �������� است به اين صورت كه يكي از پاره خط ها را انتقال مي دهيم كه ابتداي آن بر انتهاي پار هخط ديگر قرار گيرد. نقطه حاصل خواهد بود. B و A (انتهاي پاره خط جابجاشده) جمع دو نقطه X را مانند O براي ضرب ابتدا بايد مقياس را مشخص كرد. يك نقطه از خط غير از :B و A 3. ضرب دو نقطه را در OB و OA پاره خط هاي (OX به عنوان ۱ انتخاب مي كنيم. حال به كمك اين مقياس (يعني پار هخط قرار X قرار داشتند پاره خط حاصل را در همان طرف كه O در يك طرف B و A هم ضرب مي كنيم. اگر دارد جدا مي كنيم، در غير اين صورت آن را در طرف ديگر جدا مي كنيم. دقت كنيد كه براي تعريف ضرب دو نقطه انتخاب نقطه ۱ نيز ضروري است و با تغيير آن حاصل ضرب دو نقطه نيز تغيير خواهد كرد در حالي كه جمع دو نقطه چنين نبود. بار جمع n را با خودش A ضرب يك نقطه در يك عدد! با اينكه براي ضرب دو نقطه به مقياس نياز داريم اگر نقطه A بدست مي آيد كه مستقل از انتخاب مقياس است. به صورت مشابه م يتوانيم نقطه nA كنيم نقطه m 1 m و A n را ضرب مي كنيم. اين A بدون داشتن مقياس بدست آوريم. توجه داشته باشيد كه در اين روند ما يك عدد گويا را در نقطه نياز به مقياس داشته باشيم. به اين ترتيب مي توانيم A عدد نقطه اي از خط نيست كه براي ضرب كردن آن در نقطه اعداد گويا و حتي اعداد حقيقي را در يك نقطه ضرب كنيم بدون اينكه مقياسي نياز داشته باشيم. اين نوع ضرب را كه با ضرب دو نقطه ماهيتي متفاوت دارد ضرب اسكالر مي ناميم. با توجه به مطالب بالا چنين به نظر م يرسد كه ساختار جبري جمع و ضرب اسكالر به مراتب ساد هتر از ساختار جبري ضرب نقاط در هم است. در ادامه ساختارهاي جمع و ضرب اسكالر را كه ماهيتي ساده تر دارند به مجموعه هاي بزرگتري مانند صفحه و فضا گسترش مي دهيم. معرفي ساختارهاي جبري مشابه براي صفحه و فضا O A 2A 3A 1A 2 B O X A A.B B O A+B A O A از بين ساختارهاي جبري معرفي شده روي نقاط يك خط، جمع و ضرب اسكالر را مي توان به راحتي به فضاهاي بزرگتر گسترش داد. نمايش م يدهيم). به اين ترتيب هرنقطه با يك پار هخط O 1. نقطه اي به عنوان مبدأ در نظر مي گيريم (و آن را با و انتهايش آن نقطه است. O جهت دار متناظر مي شود كه ابتداي آن OA در واقع جمع پاره خط هاي جهتدار B و A جمع دو نقطه :B و A 2. جمع دو نقطه �������� OB و �������� است به اين صورت كه يكي از پاره خط ها را انتقال مي دهيم كه ابتداي آن بر انتهاي پار هخط ديگر قرار گيرد. نقطه حاصل خواهد بود. اين همان قاعده متوازي الاضلاع براي جمع B و A (انتهاي پاره خط جابجاشده) جمع دو نقطه OA �������� OB و �������� B و A ،O رأس چهارم متوازي الاضلاعي است كه سه رأس ديگرش A+B است. بنابراين است. بار m بدست مي آيد. نقطه اي هم كه با nA بار با خودش جمع كنيم نقطه n را A 3. ضرب اسكالر: اگر نقطه A مي شود A جمع شدن برابر m 1 را مي توان معرفي كرد. A است. به اين ترتيب ضرب يك عدد در نقطه A+tv اكنون مي توانيم به كمك اين حمع و ضرب نمايشي ساده براي بعضي اشكال هندسي ارائه كنيم. براي مثال را بدست مي دهد. بنابراين خطي كه از دو Ov و موازي A روي اعداد حقيقي تغيير كند خط گذرنده از t زماني كه P=A+t(B−A) نمايش داد. اگر A+t(B−A)=(1−t)A+tB مي گذرد را مي توان با رابطه B و A نقطه AP = P −A = t(B −A)= tAB باشد آنگاه AB نقطه اي دلخواه از خط �������� �������� PB =(1−t)AB . به طور مشابه �������� �������� . به .۰≤ t ≤ ۱−) خواهند بود كه در آن ۱ t)A+tB دقيقاً نقاطي به صورت AB اين ترتيب نقاط پاره خط O A 2 3A A O A B A+B به همين صورت مي توان نشان داد كه: A+B برابر است با AB 1. وسط پاره خط ۲ . A+B+C برابر است با ABC 2. محل برخورد ميانه هاي مثلث ۳ . وجود داشته باشد c و b ،a روي يك خط قرار دارند اگر و تنها اگر ضرايب حقيقي C و B ،A 3. سه نقطه .aA+bB +cC = و ۰ a+b+c= كه ۰ توليد مي شود برابر است با: v1,v مي گذرد و با دو بردار ناصفر و غير هم راستاي ۲ A 4. صفحه اي كه از نقطه {A+t1v1 +t2v2 | t1,t2 ∈ ��} مي گذرد برابراست با: C و B ،A 5. صفحه اي كه از سه نقطه { } { } { } ( ) ( ): , ( ) : , : A t B A t C A t t t t A tB tC t t aA bB cC a b c + − + − ∈ = − − + + ∈ = + + + + = ۱ ۲ ۱ ۲ ۱ ۱ ۲ ۱ ۳ ۱ ۲ ۱ �� �� برابر است با: ABC 6. مجموعه نقاط درون يا روي مثلث {aA+bB +cC:a +b +c =1,0≤a,b,c ≤۱} وجود d و c ،b ،a روي يك صفحه قرار دارند اگر و تنها اگر ضرايب حقيقي D و C ،B ،A 7. چهار نقطه .aA+bB +cC +dD = و ۰ a+b+c+d= داشته باشند كه ۰ توجه: جمع نقاط و ضرب اسكالر آنها به مبدأ وابسته است. بدون مبدأ جمع و ضرب اسكالر نقاط معني ندارد و با عوض شدن مبدأ حاصل جمع دو نقطه و ضرب يك عدد در يك نقطه تغيير خواهد كرد. به همين جهت معمولاً ۲ از عبارت A+3B وابستگي به مبدأ را در عبار تها به يك صورتي نمايش مي دهند. مثلاً بجاي عبارت ۲OA +3OB �������� �������� OA استفاده مي كنند. به پاره خط جهت دار �������� بردار گويند. با مشخص بودن مبدأ بين نقاط و بردارها يك تناظر يك به يك ايجاد مي شود و مي توان بجاي نقاط برداها را و بجاي بردارها نقاط را استفاده كرد. A O A+t(B−A) t(B −A) B B−A A O A+tv tv v دو عدد حقيقي اند، به b و a دو نقطه دلخواه و B و A كه در آن aA + bB توجه: با توجه به مطالب بالا عبارت مبدأ وابسته است و با تغيير مبدأ تغيير م يكند. با اين حال بعضي تركيب هاي به شكل بالا مستقل از مبدأ هستند. ۱A+1B مثلاً ۲ ۲ است و بنابراين مستقل از مبدأ خواهد بود. AB نقطه وسط پاره خط .a+b= مستقل از مبدأ است اگر و تنها اگر ۱ aA + bB قضيه ۱٫ عبارت شده باشد. يعني P برابر aA + bB باشد حاصل عبارت O اثبات. فرض كنيد در صورتيكه مبدأ نقطه ۱ aO1A+bO1B=O1P �������� �������� �������� برابر است با: aA + bB مبدأ باشد حاصل عبارت O . اگر نقطه ۲ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) aO A bO B a OO O A b OO O B a b OO aO A bO B a b OO OP a b OO O P + = + + + = + + + = + + = + − + ۲ ۲ ۲۱ ۱ ۲۱ ۱ ۲۱ ۱ ۱ ۲ ۱ ۱ ۱ ۲ ۱ ۲ �������� �������� ���������� �������� ���������� �������� ���������� �������� �������� ���������� �������� ���������� �������� .a+b−۱= مي شود كه ۰ P زماني aA + bB مبدأ باشد حاصل عبارت O بنابراين اگر نقطه ۲ .a1+a2+��+ak = مستقل از مبدأ است اگر و تنها اگر ۰ a1A1+a2A2 +��+akAk قضيه ۲٫ عبارت و صفحه هاي تعميم يافته در آن ��n 1.2 1.2.1 تعريف و مثال مختصات دكارتي و جمع و ضرب در اين مختصات يكي از متداول ترين و مناسب ترين روش نمايش نقاط صفحه و فضا به كمك اعداد، استفاده از دستگاه مختصات دكارتي است. به اين صورت كه در صفحه دو محور مدرج عمود برهم كه از مبدأ مي گذرند انتخاب كرده و هر نقطه را با زوج اعداد حاصل از تصوير قائمش روي آن دو محور نمايش م يدهيم. در فضاي سه بعدي نيز همين كار را با سه محور مدرج عمود برهم انجام مي دهيم. جمع و ضرب اسكالر در اين نمايش شكل ساد هاي خواهند داشت. با توجه به شكلهاي زير اگر نيز عدد حقيقي دلخواهي باشد خواهيم داشت: r ∈ �� نقاط دلخواهي باشند و B= (x2,y و ( ۲ A= (x1,y1) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) A B x y x y x x y y rA r x y rx ry + = + = + + = = 1 1 2 2 1 2 1 2 1 1 1 1 شكل جمع و ضرب در دستگاه مختصات دكارتي براي فضا نيز كاملاً مشابه بالا خواهد بود. بنابراين خط با اعداد حقيقي و صفحه با دوتايي هاي مرتب و فضا با س هتايي هاي مرتب از آن اعداد مشخص م يشوند. با ��n تايي هاي مرتب از اعداد حقيقي كه آن را با n اين ديد م يتوان مفهوم خط و صفحه و فضا را به مجموعه همه نمايش مي دهيم، گسترش داد. n {( , , ) : } n i �� = x1��x x ∈�� ساختار جبري ارائه شده براي خط و صفحه و فضا را نيز مي توان به راحتي براي اين فضاهاي بزرگتر گسترش داد. براي جمع و ضرب اسكالر را به r ∈ �� و هر عدد حقيقي ��n در B= (y1,��,yn) و A= (x1,��,xn) هر دو نقطه صورت زير معرفي مي كنيم: : ( , , ) n : ( , , ) rA = rx1 �� rx n n A+B = x1+y1��x +y به اين ترتيب مفاهيم هندس ياي مانند خط و پار هخط و صفحه و … را كه به كمك جمع و ضرب اسكالر قابل بيان بودند نيز گسترش داد. اين كار با تفصيل در بخشهاي بعدي انجام مي شود. ��n مي توان براي ��n خط و صفحه در مي گذرد و با بردار ناصفر A= (a1,��,an) مي توانيم خطي را كه از نقطه �� و ۳ �� با توجه به نمايش خط در ۲ ( , , ) n توليد مي شود، به صورت مجموعه زير تعريف كنيم: v= b1 ��b { | } {( , , ) | } n n A+tv t∈�� = a1+tb1��a +tb t∈�� مي گذرد برابر است با B و A بنابراين خطي كه از دو نقطه { } { } { } ( ): ( ) : : A tB A t tA tB t aA bB a b + − ∈ = − + ∈ = + + = ۱ ۱ �� �� باشد آنگاه AB نقطه اي روي خط P=(1−t)A+tB اگر ( ) ( )( ) ( ) AP P A t B A tAB BP P b t A B t AB = − = − = = − =۱− − =۱− �������� �������� �������� �������� .۰≤ t ≤ ۱−) كه ۱ t)A+tB نيز كاملاً مشابه قبل برابر است با تمام نقاط AB به اين ترتيب پاره خط توليد مي شود برابر است با v و ۲ v مي گذرد و با بردارهاي ۱ A صفحه اي كه از نقطه {A+t1v1 +t2v2 | t1,t2 ∈ ��} مي گذرد برابراست با: C و B ،A به اين ترتيب صفحه اي كه از سه نقطه { } { } { } ( ) ( ): , ( ) : , : A t B A t C A t t t t A tB tC t t aA bB cC a b c + − + − ∈ = − − + + ∈ = + + + + = ۱ ۲ ۱ ۲ ۱ ۱ ۲ ۱ ۳ ۱ ۲ ۱ �� �� توليد مي شود برابر است با v1,��,vk مي گذرد و با بردارهاي A و به صورت كلي تر صفحه تعميم يافت ا هي كه از نقطه { | } k k i A+t1v1 +t2v2 +��+tv t ∈�� مي گذرد و با هيچ برداري توليد نم يشود. خط A صفحه تعميم يافت ا هي است كه از نقطه A با توجه به تعريف بالا نقطه و صفحه معمولي نيز يك صفحه تعميم يافته ا ند. در ادامه به صفحه هاي تعميم يافته (شامل خط و صفحه معمولي) به صورت خلاصه “صفحه” مي گوييم. بنابراين دقت كنيد كه آن را با صفحه معمولي اشتباه نگيريد. ��n 1.3 زير فضاهاي ۱٫۳٫۱ تعريف و مثال را معرفي كرديم. در ادامه خواهيم ديد كه اگر صفحه اي از ��n صفحه هاي ��n در قسمت قبل به كمك ساختار جبري مي شود. با توجه ��n بگذرد خود داراي ساختاري جبري مشابه ساختار جبري (O = (0,0,…, يعني نقطه ( ۰ ) ��n مبدأ هستند. بنابراين به راحتي م يتوان نشان {t1v1 +…+tkvk | ti ∈ ��} به نكته ۱، صفحه هاي شامل مبدأ به شكل داد كه: از مبدأ مي گذرد اگر و تنها اگر جمع هر دو عضوش و ضرب اسكالر اعداد حقيقي در هر عضوش، π � صفحه داخل آن صفحه قرار گيرند. را تشكيل م يداد، روي صفحه هاي گذرنده از مبدأ ��n با توجه به اين نكته، جمع برداري و ضرب اسكالر كه جبر روي را دارا مي باشد. (چون در واقع همان ��n نيز يك ساختار جبري ايجاد مي كنند كه همه ويژگ يهاي ساختار جبري روي ��n اند كه به زيرمجموع هاي از آن تحديد شده است.) چنين زيرمجموعه هايي را زيرفضاي ��n جمع و ضرب اسكالر گويند. را زيرفضاي آن مي گوييم هر گاه V ⊂ ��n تعريف ۱٫ زيرمجموعه ناتهي ∀v1,v2 ∈V : v1+v2 ∈V ∀v∈V,∀r ∈ �� : rv∈V .∀v1,v2 ∈V,∀r ∈ ��:v1+rv2 ∈V زير فضا است اگر V به عبارت ديگر ��n اند. كمي جلوتر ثابت م يكنيم كه زير فضاهاي ��n كه از مبدأ مي گذرند زيرفضاي ��n به اين ترتيب صفحه هاي نيز صفحه هاي گذرنده از مبدأ هستند. يعني اين دو مفهوم يكسانند. دقت كنيد كه تعريف زير فضا كاملاً جبري است. را مي توان با عبارتي كاملاً جبري توصيف كرد. ��n درنتيجه صفحه هاي گذرنده از مبدأ در دقت كنيد تعريف زير فضا تعريفي كاملاً جبري است و بيان ساده تري نسبت به تعريف صفحه دارد و اين نكته موجب مي شود خيلي از خواص صفحه ها را به صورتي ساده تر بدست آوريم. و زيرفضاي توليد شده ��n 1.3.2 ويژگي هاي زيرفضاهاي شامل مبدأ است. ��n قضيه ۳٫ هر زيرفضاي در آن و جود دارد و به خاطر بسته بودن تحت ضرب اسكالر v اثبات. چون زير فضا ها نا تهي اند برداري مانند ۰ نيز بايد در آن باشد. .v =0 است. ��n خود زيرفضايي از ، ��n قضيه ۴٫ اشتراك هر تعداد زيرفضاي باشند. از آنجايي كه همه آنها شامل بردار صفر هستند اشتراك آنها نيز ��n ها زير فضاهايي از Vα اثبات. فرض كنيد اگر . شامل مبدأ است و در نتيجه ناتهي است , v v Vα ∈ ∩ آنگاه براي هر ۱ ۲ α داريم , v v Vα ۱ ۲ و درنتيجه ∈ v rv Vα + ∈ بنابراين . ۱ ۲ v rv Vα ها خود يك زير فضا است. Vα ۱+ ۲ و اين نشان مي دهد اشتراك ∈∩ است و S وجود دارد كه شامل ��n باشد. زيرفضايي از ��n زيرمجموعه اي دلخواه از S ⊂ ��n قضيه ۵٫ فرض كنيد وجود دارد. S قرار دارد. به بيان ديگر كوچك ترين زيرفضاي شامل S داخل هر زير فضاي شامل اثبات: خود ��n يك زيرفضايي است كه شامل S است. اشتراك همه زيرفضاهاي ��n كه شامل S اند، طبق نيز است. اين زيرفضا همان كوچك ترين زيرفضاي مورد نظر است. S مي شود كه شامل ��n قضيه ۳ خود زيرفضايي از S مي ناميم و آن را با S را زيرفضاي توليد شده توسط مجموعه S ⊂ ��n تعريف ۲٫ كوچك ترين زيرفضاي شامل نمايش مي دهيم. تحت جمع برداري و V بردارهايي متمايز از آن باشد . از آنجايي كه v1,…,vk و ، ��n يك زير فضاي V فرض كنيد است. به چنين عبار تهايي تركيب خطي S نيز داخل t1v1 +��+tkvk ضرب اسكالر بسته است بردارهايي به صورت مي گوييم. بنابر قرار داد تركيب خطي صفرتا بردار را بردار صفر قرار مي دهيم. به اين ترتيب واضح v1,…,vk بردار k قرار دارد. V باز داخل V است كه تركيب خطي هر تعداد از اعضاي به عبارت ديگر فضاي توليد شده توسط مجموعه .S ={t1v1+…+tlvl |l∈N∪{۰} , vi ∈S} . قضيه ۶ .S برابر است با مجموعه همه تركيب هاي خطي اعضاي S قرار S بايد داخل فضاي برداري توليد شده توسط S اثبات. طبق آنچه در بالا بيان شد هر تركيب خطي از اعضاي يك زير فضا هستند. طبق قرار داد بالا بردار صفر S داشته باشد. پس بايد نشان دهيم مجموعه تركيب هاي خطي اعضاي در اين مجموعه قرار دارد و درنتيجه اين مجموعه ناتهي است. همچنين واضح است كه جمع دو تركيب خطي از اعضاي است. بنابر اين مجموعه تركيب هاي خطي اعضاي S و ضرب يك اسكالر در آن باز به شكل تركيب خطي اي از اعضاي S يك فضاي برداري است. S تهي باشد مجموعه تركي بهاي خطي S ممكن است تهي يا نامتناهي باشد. اگر S دقت كنيد كه در بالا مجموعه در واقع S طبق قرارداد بالا) تنها شامل بردار صفر است. اگر نامتناهي باشد يك تركيب خطي از اعضاي ) S اعضاي تركيبي خطي از متناهي عضو آن است. مجموع نامتناعي هيچ معني اي نمي دهد. سري هايي هم كه در آناليز به آن برخورد مي كنيم تنها به كمك مفهوم فاصله و همگرايي مي توانند معني پيدا كنند كه فعلاً ما هيچ مطلبي در مورد چنين ساختارهايي براي يك فضاي برداري بيان نكرديم. .R ⊆ S ⊆��n آنگاه R⊆S⊆ ��n قضيه ۷٫ اگر .V =V باشد آنگاه ��n يك زيرفضاي V ⊂ ��n قضيه ۸٫ اگر باشند آنگاه مجموعه ��n دو زيرفضاي W و V قضيه ۹٫ اگر V+W:={v+w |v∈V , w∈W} .V∪W =V+W است و داريم ��n نيز يك زيرفضاي يافت w,w’ ∈W و v,v’ ∈V يعني u,u’ ∈V +W ناتهي است زيرا شامل صفر است. فرض كنيد V+W . اثبات .u+ru’=(v+rv’)+(w+rw’)∈V+W بنابراين .u=v+w,u’ =v’+w’ مي شوند كه فضاي توليد V يافت شوند كه v1,��,vk را با توليد متناهي گوييم اگر متناهي بردار V ⊆ ��n تعريف ۳٫ زير فضاي شده توسط آنها باشد. با توجه به تحت جمع برداري و V بردارهايي متمايز از آن باشد . از آنجايي كه v1,…,vk و ، ��n يك زير فضاي V فرض كنيد است. به چنين عبار تهايي تركيب خطي S نيز داخل t1v1 +��+tkvk ضرب اسكالر بسته است بردارهايي به صورت مي گوييم. بنابر قرار داد تركيب خطي صفرتا بردار را بردار صفر قرار مي دهيم. به اين ترتيب واضح v1,…,vk بردار k قرار دارد. V باز داخل V است كه تركيب خطي هر تعداد از اعضاي است كه از مبدأ v1,…,vk همان صفحه توليد شده توسط v1,…,vk قضيه ۶ زيرفضاي توليد شده توسط بردارهاي مي گذرد. در واقع زيرفضاهايي كه با متناهي بردار توليد مي شوند صفحه هايي هستند كه از مبدأ مي گذرند. در قسمت هاي همان صفحه هاي گذرنده ��n با توليد متناهي هستند و در نتيجه زيرفضاهاي ��n بعد نشان مي دهيم همه زيرفضاهاي از مبدأ اند. ۱٫۳٫۳ استقلال خطي معياري براي بزرگي صفحه هاي تعيم يافته در اين قسمت مي خواهيم معياري براي بزرگي يك صفحه تعميم يافته بدست آوريم. مثلاً نقطه كه يك صفحه تعميم يافته است كوچكتر از يك خط است و خط نيز كوچكتر از صفحه معمولي و صفحه معمولي كوچكتر از فضاي سه بعدي اطراف ما است. به نظر مي آيد كه تعداد بردارهاي توليد كننده يك صفحه تعميم يافته بتواند معيار مورد نظر باشد. مثلاً نقطه با هيچ برداري توليد نمي شود و ما آن را صفر بعدي مي دانيم. خط با يك بردار توليد مي شود و ما آن را يك بعدي مي دانيم. صفحه معمولي و فضاي سه بعدي نيز به ترتيب با دو بردار و سه بردار توليد مي شوند و ما آنها را دو بعدي و سه بعدي مي دانيم. به اين ترتيب شايد بتوان بعد يك صفحه تعميم يافته را تعداد بردارهاي توليد كننده آن تعريف كرد و انتظار داشت كه اين مفهوم همان معيار مورد نظر براي بزرگي يك صفحه تعميم يافته باشد. اما مشكلاتي و جود دارد. اگر .v ≠ است به شرط اينكه ۰ ��n توليد مي شود يك خط در v ∈ ��n يك صفحه تعميم يافته كه با يك بردار مانند v باشد در واقع اين صفحه تعميم يافته به يك نقطه تبديل مي شود. به عبارت ديگر در اين حالت با حذف كردن v = 0 توليد مي شود يك v1,v2 ∈ ��n صفحه تعميم يافته تغييري نمي كند. همچنين صفحه تعميم يافت ا هي كه با دو بردار مضربي از يكديگر نباشند. اگر هر دو صفر باشند آنگاه با حذف كردن v1,v است به شرط اينكه ۲ ��n صفحه معمولي در آنها صفحه تعميم يافته توليد شده تغييري نمي كند و در هر دو صورت اين صفحه تعميم يافته يك نقطه خواهد بود. اگر خواهد بود. به عبارت ديگر v آنگاه واضح است كه صفحه تعميم يافته يك خط در راستاي ۱ v2=rv ناصفر باشد و ۱ v1 صفحه تعميم يافته تغييري نخواهد كرد. اين دو مثال نشان مي دهند كه تعداد بردارهايي كه يك صفحه v با حذف ۲ تعميم يافته را توليد مي كنند زماني ممكن است معياري براي بزرگي آن باشند كه با حذف هر يك صفحه توليد شده تغيير كند. به بياني ديگر بايد مجموعه مولدي براي صفحه بيابيم كه هيچ عضو زائدي نداشته باشد. با اين حال هنوز مسئله اي ديگر وجود دارد و آن اين است كه ممكن است مجموعه هاي مولد متفاوتي براي يك صفحه وجود داشته باشند كه هيچ يك داراي عضو زائد نيز نباشند. در اين صورت بعد آن صفحه تعداد اعضاي كدام يك بايد باشد؟ در ادامه نشان مي دهيم همه اين مجموعه ها تعداد اعضايي برابر دارند و در نتيجه در تعريف بعد مشكلي وجود نخواهد داشت. براي سادگي فرض مي كنيم صفحه هاي تعميم يافته از مبدأ مي گذرد زيرا آنچه در اين بحث مهم است بردارهاي مولد يك صفحه است كه با انتقال تغييري نم يكند. مجموعه هاي مولدي كه هيچ عضو زائد ندارند و استقلال خطي را زائد مي گوييم اگر با حذف كردن آن فضاي توليد شده توسط اين بردارها تغيير {v1,…,vk} در مجموعه vi بردار . v1,…,vk = v1,…,vi−۱,vi+1,…,vk زائد است اگر vi نكند. به عبارت ديگر در نتيجه مجموعه اي از بردارها كه هيچ يك از اعضايش زائد نيست، مجموعه اي است كه هيچ يك از بردارهاي آن در فضاي توليد شده توسط بردارهاي ديگر قرار نگيرد. گزاره زير بيان ساده تري براي معرفي اين مجموعه ها ارائه مي كند. در فضاي توليد شده توسط بقيه آنها قرار ندارد اگر و تنها اگر هيچ تركيب خطي v1,..,vk قضيه ۱۰ . هيچ يك از بردارهاي صفر باشند، صفر نشود. ti جز در حالتي كه همه ضرايب t1v1 +…+tkvk اين بردارها مانند در فضاي توليد شده توسط بقيه قرار داشته باشد آنگاه vk اثبات: اگر يكي از بردارها مانند … … ( ) k k k k k k v =t1v1 + +t−۱v−۱ ⇒ t1v1 + +t−۱v−۱ + −۱v = �� ها با ضرايب غيرصفر وجود دارد كه صفر شده است. vi يعني يك تركيب خطي از باشد آنگاه tk ≠ صفر بود در حالي كه همه ضرايب آن صفر نبودند، مثلاً اگر ۰ t1v1 +…+tkvk اگر تركيب خطي … … ,…, k k k k k k k k k k k k t v t v t v t t v v v t t t v v v − − − − ⎫ + + = − ⎪ − − ⎪ ⇒ = + + ⎬⎪ ≠ ⎪⎭ ⇒ ∈ ۱ ۱ ۱ ۱ ۱ ۱ ۱ ۱ ۱ �� تعريف ۴٫ به مجموعه اي از بردارها كه هيچ تركيب خطي آنها صفر نمي شود مگر اين كه همه ضرايب آن تركيب خطي صفر باشند، مجموعه مستقل خطي گوييم. اگر مجموعه اي مستقل خطي نباشد به آن وابسته خطي گوييم. ويژگي هاي مجموعه هاي مستقل خطي ۱) مجموعه تهي مستقل خطي است. .v ≠ مستقل خطي است اگر و تنها اگر ۰ {v} 2) مجموعه تك عضوي مستقل خطي است اگر و تنها اگر هيچ كدام مضرب ديگري نباشند. {v1,v 3) مجموعه دوعضوي { ۲ ۴) هر زيرمجموعه يك مجموعه مستقل خطي خود مجموعه اي مستقل خطي است. (در نتيجه هر مجموعه شامل يك مجموعه وابسته خطي، وابسته خطي است.) مستقل خطي است اگر و تنها اگر هيچ يك از اعضاي آن در فضاي توليد شده توسط ديگر اعضا {v1,…,vk} 5) مجموعه قرار نگيرد. ( ( قضيه ۱۰ n مستقل خطي بوده و {v1,…,vk} 6) فرض كنيد k v + مستقل {v1,…,vk + 1 برداري دلخواه باشد. مجموعه {۱ ∈ �� vk+1∉v1,…,vk خطي است اگر و تنها اگر اگر اين مجموعه مستقل خطي نباشد .vk+1∉v1,…,vk ،( مستقل خطي باشد طبق ( ۵ {v1,…,vk + اثبات: اگر {۱ در اين vk + برابر صفر وجود دارد كه همه ضرايب آن صفر نيست. ضريب ۱ t1v1 +…+tk+1vk+ آنگاه تركيب خطي ۱ صفر شده در حالي كه همه ضرايب v1,…,vk تركيب خطي نمي تواند صفر باشد، زيرا در اين صورت تركيب خطي اي از متناقض است. در نتيجه داريم: {v1,…,vk} آن صفر نيست و اين با استقلال خطي بودن … k ,…, k k k k k k t t v v v v v v + t t + + + − − = ۱ + + ⇒ ∈ ۱ ۱ ۱ ۱ ۱ ۱ ويژگي ( ۶) روشي عملي براي ساختن مجموعه هاي مستقل خطي بدست مي دهد. به اين ترتيب كه ابتدا بردار ناصفري كل فضا نبود برداري مانند v مستقل خطي است. حال اگر ۱ {v را انتخاب مي كنيم. طيق ( ۲) مي دانيم { ۱ v مانند ۱ مستقل خطي مي شوند. اين روند را تا زماني كه فضاي {v1,v2} .( قرار ندارد. طبق ( ۶ v در فضا هست كه در ۱ v2 توليد شده توسط بردارهاي حاصل كل فضا نباشد مي توان ادامه داد. ۱٫۳٫۴ پايه و بعد گوييم هر گاه V را يك پايه براي فضاي برداري {v1,…,vk} تعريف ۵٫ مجموعه ,…, (۱ k V= v1 v { ,…, } (2 k مستقل خطي باشد. v1 v قضيه زير نشان مي دهد كه هر دو پايه يك فضاي برداري داراي تعداد اعضاي برابر هستند. به اين ترتيب معياري را كه به دنبال آن بوديم، بدست مي آوريم. ��n براي سنجش بزرگي زيرفضاها و در نتيجه صفحه هاي زيرمجموعه اي مستقل خطي در {w1,…,wl} باشد و {v1,…,vk} فضاي توليد شده توسط بردارهاي V قضيه ۱۱ . اگر باشد. آنگاه: V .l≤k (1 { ,…, } (2 k تقليل داد. V را مي توان با حذف بعضي از اعضايش به يك پايه v1 v { ,…, } (3 l گسترش داد. V را مي توان با اضافه كردن بردارهايي به يك پايه w1 w داراي تعداد اعضاي برابر هستند. V داراي پايه است و هر دو پايه براي V (4 به گونه اي كه در هر مرحله {v1,…,vk} بجاي اعضاي {w1,…,wl} اثبات. قسمت ۱) ايده اثبات جايگزاري اعضاي تا از بردارهاي i را بجاي w1,…,wi ام i باشد . فرض كن يد در مرحله V فضاي توليدشده با آن بردارها همچنان { ,…, } k است. يعني V قرار داده ايم به گونه اي كه فضاي توليد شده توسط اين بردارها v1,…,vi مثلاً v1 v ,…, , ,…, i i k w w v+ v V هاي باقي vj را مي توان بجاي يكي ديگر از wi + نشان مي دهيم كه ۱ .(i = 1 1 . (در ابتدا ۰ = مانده قرار داد كه همچنان اين خاصيت برقرار باشد. ,…, , ,…, i ii k w+ V w wv+ v 1∈ = ۱ ۱ wi+1=t1w1+��+tiwi +ti+1vi +1+��+tkvk و اين با مستقل خطي بودن wi+1=t1w1+��tiwi نمي توانند صفر باشند زيرا در اين صورت ti+1,…,tk همه ضرايب { ,…, } l ناصفر است. بنابراين ti + متناقض است. پس يكي از اين ضرايب مثلاً ۱ w1 w i i k i i i k i i i i t t t t v w w v v t t t t + + + + + + + = 1 +��+ + ۲ +��+ ۱ ۱ ۲ ۱ ۱ ۱ ۱ به عبارت ديگر ,…, , , ,…, i i i i k v w ww v v + + + ∈ ۱ ۱ ۱ ۲ بنابراين ,…, , , ,…, ,…, , , , ,…, ,…, , , ,…, i i i k i i i i k i i i k w w w v v w w w v v v w w v v v V + + + + + + + = = = 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 را بجاي آن وارد wi اي نيز باقي مانده باشد كه بتوان wi اي باقي مانده بايد wi اين الگوريتم تضمين مي كند كه اگر كه با فرض مستقل wi+1=t1w1+��tiwi اي وجود نداشته باشد آنگاه vj ام i

منبع : http://mehrmihan.ir/base-open-space-jbrkhty/

این مطلب را به اشتراک بگذارید :
a b